算法题：奶酪

问题描述

现有一块大奶酪，它的高度为 h，它的长度和宽度我们可以认为是无限大的，奶酪 中间有许多半径相同的球形空洞。我们可以在这块奶酪中建立空间坐标系，在坐标系中，奶酪的下表面为z=0，奶酪的上表面为z=h。

现在，奶酪的下表面有一只小老鼠 Jerry，它知道奶酪中所有空洞的球心所在的坐标。如果两个空洞相切或是相交，则 Jerry 可以从其中一个空洞跑到另一个空洞，特别地，如果一个空洞与下表面相切或是相交，Jerry 则可以从奶酪下表面跑进空洞；如果一个空洞与上表面相切或是相交，Jerry 则可以从空洞跑到奶酪上表面。

位于奶酪下表面的 Jerry 想知道，在 不破坏奶酪的情况下，能否利用已有的空洞跑 到奶酪的上表面去?

空间内两点P~1~(x~1~,y~1~,z~1~)、P~2~(x~2~,y~2~,z~2~)的距离公式如下：

$$
dist(P_1,P_2)=
\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)2+(z_1-z_2)^2}
$$

输入格式

每个输入文件包含多组数据。

第一行，包含一个正整数 T，代表该输入文件中所含的数据组数。

接下来是 T 组数据，每组数据的格式如下： 第一行包含三个正整数 n,h 和 r，两个数之间以一个空格分开，分别代表奶酪中空洞的数量，奶酪的高度和空洞的半径。

接下来的 n 行，每行包含三个整数 x,y,z，两个数之间以一个空格分开，表示空洞球心坐标为(x,y,z)。

输出格式

T 行，分别对应 T 组数据的答案，如果在第 i 组数据中，Jerry 能从下表面跑到上表面，则输出Yes，如果不能，则输出No （均不包含引号）。

样例

输入

3 
2 4 1 
0 0 1 
0 0 3 
2 5 1 
0 0 1 
0 0 4 
2 5 2 
0 0 2 
2 0 4

输出

Yes
No
Yes

样例 1 说明

第一组数据,由奶酪的剖面图可见：

• 第一个空洞在(0,0,0)与下表面相切
• 第二个空洞在(0,0,4)与上表面相切 两个空洞在(0,0,2)相切

输出 Yes

第二组数据,由奶酪的剖面图可见：

• 两个空洞既不相交也不相切

输出 No

第三组数据,由奶酪的剖面图可见：

• 两个空洞相交 且与上下表面相切或相交

输出 Yes

数据范围

对于 20%的数据, n=1,1≤h ,r≤10,000, 坐标的绝对值不超过 10,000。
对于 40%的数据,1≤n≤8, 1≤h ,r≤10,000, 坐标的绝对值不超过 10,000。
对于80%的数据, 1≤n≤1,000, 1≤h ,r≤10,000, 坐标的绝对值不超过10,000。
对于 100%的数据, 1≤n≤1,000,1≤h,r≤1,000,000,000,T≤20,坐标的 绝对值不超过 1,000,000,000。

解决方案

思路

并查集

代码

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;
const int MAX = 1005;

struct Hole {
    long long x, y, z;
} hole[MAX];

int n;
long long h, r;
int fa[MAX];

double dist(int p1, int p2) {
    return sqrt((hole[p1].x - hole[p2].x) * (hole[p1].x - hole[p2].x) +
                (hole[p1].y - hole[p2].y) * (hole[p1].y - hole[p2].y) +
                (hole[p1].z - hole[p2].z) * (hole[p1].z - hole[p2].z));
}

void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        fa[i] = i;
    }
}

int find(int e) {
    if (fa[e] == e) return e;
    return fa[e] = find(fa[e]);
}

void join(int a, int b) {
    int x = find(a);
    int y = find(b);
    fa[x] = y;
}

void solve() {
    cin >> n >> h >> r;
    init();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> hole[i].x >> hole[i].y >> hole[i].z;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (dist(i, j) <= 2 * r * 1.0) {
                join(i, j);
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (hole[i].z <= r) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (hole[j].z >= h - r && find(i) == find(j)) {
                    cout << "Yes" << endl;
                    return;
                }
            }
        }
    }
    cout << "No" << endl;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    for (int i = 0; i < t; ++i) {
        solve();
    }
    return 0;
}